Formulació matemàtica del model de Lanchester
Primera aproximació: En un instant t el nombre de soldats d'un
exercit X és x i d'un altre Y és y. Després d'una unitat
de temps (1 hora, 1 dia...) el nombre de soldats que hauran mort a
l'exercit X serà by, i els que hauran mort a l'exercit Y seran cx.
Aquest valor, per cada exercit, depèn del nombre de soldats de l'exercit
contrari per un coeficient d'eficiència d'aquests soldats. Quedant:
El signe menys representa que entre les dues unitats de temps el total de soldats serà menor.
Segona aproximació: Tenint en compte que tenir més soldats fa que morin més soldats contraris però també els fa més localitzables i, per tant més fàcils de matar(*). L'equació queda:
Existeixen variacions d'aquestes equacions per tenir en compte, per exemple, les guerres de guerrilles. En aquest cas per la forma d'actuar dels guerrillers el seu nombre no afecta als morts del seu propi bàndol (no s'acompleix(*)) .
Una tercera aproximació complica encara més les equacions al tenir en compte la capacitat de rebre reforços per part de cada exercit. Aquests no són il·limitats sinó que segueixen una corba logística quedant l'equació utilitzada com:
dx/dt = -bxy+alfax(1-x/K)
dy/dt = -cyx+betay(1-y/L)
Hi han més nivells de complicació. Capacitat de retirada, de persecució als que es retiren, divisió del coeficient bx i cy entre diferents tipus d'unitats (terra, aviació...). Que no tractarem en aquest model.
Preguntes d'autoavaluació sobre la comprensió del model
En la primera aproximació:
De que de depenen el valor de b i c?
Tenen sentit amb valors negatius?.
En la segona aproximació:
Com hauríem de modificar les equacions en cas d'exercit convencional X
contra guerrilla Y?
En la tercera aproximació:
Quins factors influeixen en la capacitat de rebre reforços.
Perquè el signe del terme de reforços és positiu?.
Que passa quan K=x? I quan K s'acosta a 0?. Té sentit un valor de K<X0