Explicació de la llei potencial de Mandelbrot

Si ens mirem una llista de números corresponents a una situació real (població comarca, vendes empreses...). Podem trobar comportaments similars a tot arreu?. Podem descobrir que això és cert i trobar una plantilla de comportament aplicable a qualsevol situació?.

Lamentablement en molts casos coneixem el comportament però no ens és possible de deduir-ne l'explicació. En altres paraules veiem el que pasa però encara no ho entenem.

Suposem que ordenem els pobles de la nostra comarca en ordre decreixent segons població i donem un valor (rang) segons la seva importància (d'entrada el mes fàcil es numerar-los de 1 a n). Podem considerar la població proporcional a 1, 1/2,1/3,1/4.... (al gràfic correspon la línia vermella).

 Les principals firmes empresarials ordenades de forma decreixent pel seu valor (ex: valor en borsa, vendes anuals...) es comporten d'aquesta manera?. Si!

I les exportacions d'un país en funció del seu potencial econòmic?. També!

Si agafem un text en català i ordenem les paraules en ordre decreixent segons la feqüència d'aparició. Quina regla de freqüència d'aparició tenen les diferents paraules?. Trobem la mateixa regla!. I això val per altres llenguatges!.

Qui se'n va donar compte d'aquesta regla va ser George Kingsley Zipf, un professor d'alemany a Harvard (d'aqui prové que l'aproximació que veiem al model en vermell s'anomeni Zipf). Avui sabem que aquest comportament es trova a la física, biologia, i ciéncies de la terra.

Mes endavant Benoit Mandelbrot va generalitzar el métode. va afegir una constant al rang de manera que les proporcions quedaven 1/(1+a),1/(2+a),1/(3+a)... on a és una constant (es el valor que pots modificar com a paràmetre del model). El seguent pas va ser afegir un exponencial al divisor, el va posar com a (1+b). Al final l'equació a aplicar és:

                                                                               Zipf correspòn a a i b iguals a 0.

El resultat d'aplicar això és la línia verda del model que, com pots veure, s'ajusta molt millor als valors reals (barres blaves). Com és calcula b pots trovar-ho al final del full encara que s'escapa del tema del curs.      anar-hi

Com es trova la millor aproximació de b per una a donada

A partir de l'equació inicial

apliquem logaritmes a les dues bandes

on:
Y=Log Pi 
A=Log P₀
B=(-1+b)
X=Log (i  + a)

aquesta és l'equació d'una recta i podem aplicar el mètode de regressió per trobar els coeficients A i B que millor s'ajusten a les dades.