Glossari de matemàtiques

 

 

Autoria : Toni Gonzalez Hidalgo. Estudiant de 2on Batxillerat IES Icària

 


ARITMÈTICA I ÀLGEBRA

Nombre reals: operacions

Els nombres que són donats per una expressió decimal no periòdica es diuen nombres irracionals.

Les expressions decimals no periòdiques s'anomenen nombres irracionals, en oposició amb els nombres racionals, l'expressió decimal dels quals és periòdica.
Els nombres racionals i els irracionals s'anomenen nombres reals.
El conjunt dels nombres reals s'indica amb la lletra .

L'error absolut és la diferència en valor absolut entre el nombre i un valor aproximat d'aquest.

L'error relatiu és el quocient entre l'error absolut i el nombre, és a dir, l'error per unitat.

Els nombres radicals de la forma (sense arrel entera) són nombres irracionals, es a dir, no tenen una expressió fraccionària.

El logaritme de base a (a > 0 i a ¹ 1) d'un nombre A és l'exponent al qual s'ha d'elevar la base per obtenir A.
Les seves propietats són:

  • log (A · B) = log A + log B

  • log (A/B) = log A - log B

  • log An = n log A

Nombre reals: ordenació

Tot nombre positiu es pot expressar com la suma de quatre quadrats com a màxim.

Tota successió d'intervals encaixats determina un únic nombre real.
A tot nombre real li correspon un punt a la recta real, i viceversa.

El valor absolut d'un nombre a es designa amb |a| i coincideix amb el nombre si és positiu i amb el seu oposat si és negatiu.

Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss

Una equació és una igualtat entre lletres i nombres relacionats per les operacions aritmètiques.
En aquest cas, les lletres es diuen incògnites.

Les solucions d'una equació són els valors que poden prendre les incògnites, de manera que en substituir-les a l'equació per aquests valors la igualtat és certa.

Les equacions que tenen solució són compatibles.

Les equacions que no tenen solució són incompatibles.

Per resoldre equacions de segon grau, recorda que necessites utilitzar aquesta formula:

Les equacions radicals són les equacions en què la incògnita apareix en algun dels seus termes sota el signe radical.

Les equacions logarítmiques són les equacions en què la incògnita apareix sotmesa a l'operació logarítmica.

Les equacions exponencials són les equacions en què la incògnita està a l'exponent.

Matrius i determinats.

Matriu és una quadricula amb n files i m columnes. Cada fila representa una equació del sistema i cala columna es omplerta pels coeficients de les incògnites.

Suma de matrius: només es poden sumar matrius que tinguin el mateix número de files i de columnes.
Per sumar-les, es sumen els números que tinguin la mateixa posició.

Exemple:

5 5   4 7   5+4=9 5+7=12
1 2 + 1 5 = 1+1=2 2+5=7

Producte per un escalar: És multipliquen tots els números de la matriu per l'escalar.

Producte de dues matrius: Només es poden multiplicar si hi ha tantes columnes d'una matriu com files de l'altre.

Exemple: (Segueix el sistema de colors)

5 2   2 4   5*2 + 2*3 = 16 5*4 + 2*1 = 22
1 1 * 3 1 = 1*2 + 1*3 = 5 1*4 + 1*1 =5

Càlcul de determinats: donada la matriu següent, li calcularem el determinant.

2 4 0
6 7 8
3 -1 5

 determinant: (2*7*8)+(6*(-1)*0)+(4*8*3)-[(3*7*0)+(6*4*5)+(2*8*(-1))

Simplificant: 112+0+96-(0+120-16)

Agrupem: 208 - (104)

Finalment obtenim que el determinat d'aquesta matriu és 104

GEOMETRIA

Raons trigonomètriques

El grau és l'angle pla que, amb el vèrtex al centre d'un cercle, intercepta sobre la circumferència d'aquest cercle un arc de longitud .El simbolitzem per º.

El radiant és l'angle que, amb el vèrtex al centre d'un cercle, intercepta sobre la circumferència d'aquest cercle un arc de longitud igual al radi. El simbolitzem per rad.

Sinus de l'angle a (sin a) és la raó entre el catet oposat i la hipotenusa.

Cosinus de l'angle a (cos a) és la raó entre el catet contigu i la hipotenusa.

Tangent de l'angle a (tg a) és la raó entre el catet oposat i el catet contigu.

Cosecant de l'angle a (cosec a) és la raó entre la hipotenusa i el catet oposat.

Secant de l'angle a (sec a) és la raó entre la hipotenusa i el catet contigu.

Cotangent de l'angle a (cotg a) és la raó entre el catet contigu i el catet oposat.

Resolució de triangles

En les explicacions següents es fa referència a aquest triangle.

En qualsevol triangle es compleix que la suma dels seus angles sempre serà 180º.

La superfície d'un triangle és igual a la meitat de la base per l'altura corresponent a la base.

Teorema de Pitàgores. El quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets.

Teorema del sinus. Els costats d'un triangle són proporcionals als sinus dels angles oposats.

a/sin A = b/sin B = c/sin C

Teorema del cosinus. El quadrat d'un costat és igual a la suma de quadrats dels altres costats menys el doble producte d'aquests costats pel cosinus de l'angle comprès.

a2 = b2 + c2 - 2bc · cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac · cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab · cos C

Els vectors en el pla

NOTA: 

  • es lletres amb    representen ser un vector.

  • Les lletres compreses entre | | representen ser el mòdul d'un vector.

  • Les lletres "x", "y" i "z" fan referència a les coordenades d'un punt.

  • "A", "B", "C", representen el coeficients que acompanyen a una equació.

  • "a" i "b", representen ser les coordenades d'un vector qualsevol.

  • "m", representa el pendent de la recta.

Un vector fix AB és un segment orientat que té l'origen al punt A i l'extrem al punt B.

Mòdul del vector fix AB és la longitud del segment [AB].S'obté a partir de la expressió següent.

(vector) u (x,y)         |u| =

Direcció del vector fix AB és la direcció de la recta que passa per A i per B. Dos vector fixos nuls tenen la mateixa direcció si es troben rectes paral·leles.

Sentit del vector fix AB és el del recorregut de la recta quan ens traslladem de A a B. Observa que per a cada direcció hi ha dos sentir, el que va de A cap a B i el que ca de B cap a A.

Dos vectors fixos no nuls són equipol·lents si tenen el mateix mòdul, la mateixa  direcció i el mateix sentit.

Vector lliure és cada una de les classes en què queda classificat el conjunt F2 mitjançant la relació d'equipol·lència.

El producte escalar de dos vector u i v es designa per u · v i s'obté de la manera següent.

u · v = |u| · |v| · cos(uv)

El cosinus de l'angle format per dos vectors s'obté dividint el seu producte escalar pel producte dels seus mòduls:

El vector unitari és aquell vector que te com a mòdul la unitat.

La recta en el pla

Les coordenades d'un vector lliure s'obtenen restant a les coordenades de l'extrem les de l'origen.

Les coordenades del punt mitjà d'un segment són la semisuma de les coordenades dels extrems.

Equació de la recta en forma contínua

Equació general de la recta

Ax +By + C = 0

Equació de la recta en forma punt - pendent.

y - y1 = m (x -x1)

Equació de la recta en forma explícita.

y = mx + n

Els vectors en l'espai

Els vectors, en l'espai, venen definits per tres números. u (u1, u2, u3).

Els vectors unitaris en l'espai, és mantenen igual; i per a l'eix x, j per a l'eix y i el vector k corresponent a l'eix z

La recta en l'espai

Una recta en l'espai es definida per un punt i un vector o per dues equacions de plans.

Equació de forma general

(x,y,z) = (x0, y0, z0) + l (v1, v2, v3)
               Un punt          Un vector

Equació de forma contínua:

Equació de forma implícita:

Equació del Pla

Per obtenir definir un pla a l'espai, necessitem, un punt i dos vectors.

Equació de forma general:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + l (v1, v2, v3) + m (u1, u2, u3)

Equació de forma implícita:

Ax + By + Cz + D = 0

El vector (A, B, C) resulta ser un vector perpendicular al pla.

Posicions relatives

Entre 2 plans:

  • Si el sistema format es compatible indeterminat amb un grau de llibertat, els plans es tallen en una recta.

  • Si el sistema format es compatible indeterminat amb dos graus de llibertat, els plans són paral·lels.

Entre 3 plans:

  • Si el sistema format es compatible, els plans es tallen en un punt.

  • Si el sistema format es compatible indeterminat amb un grau de llibertat, els plans es tallen en una recta.

  • Si el sistema format es compatible indeterminat amb dos graus de llibertat, els plans són coincidents.

  • Si el sistema es incompatible, els plans no tenen res en comú.

Entre dues rectes:

  • Es tallen quan el det (u, v, w) = 0

  • Són paral·leles quan els vectors són proporcionals

  • Es creuen quan el det (u, v, w) ¹ 0

Distàncies

La distància d'un punt a un altre punt, és el mòdul del vector.

La distància d'una recta a un punt, que no sigui de la recta. És calcula:

La distància d'un punt a un pla, es calcula amb la següent fórmula:

Angles

NOTA:

  • "r" i "s" representen rectes en l'espai.

Recta - recta:

Recta - pla:

Pla - pla:

Nombres complexos

S'anomena nombre complex, en forma binòmica, l'expressió:

a + b· i

El nombre a es diu part real.
El nombre b es diu part imaginària.

ANÀLISI DE FUNCIONS

Funcions interpolació lineal i quadràtica

Una funció és, en un primera aproximació, una relació entre dues magnituds, de manera que a cada valor de la primera lo correspon un únic valor de la segona.

Funció real de variable real és tota correspondència f que associa a cada element d'un determinat subconjunt de nombres reals un altre nombre real.

Una successió de nombres reals és una funció que fa correspondre a cada nombre natural un nombre real.
El domini de la successió és el conjunt dels nombres naturals, és a dir, N={1, 2, 3, 4, ...}.

Les successions els termes de les quals s'obtenen a partir de l'anterior sumant-hi un nombre fix es diuen successions aritmètiques.

Les successions els termes de les quals s'obtenen a partir de l'anterior multiplicant-lo per un nombre fix s'anomenen successions geomètriques.

Funcions: Límits i continuïtat

Les successions que tenen com a límit 0 s'anomenen successions nul·les. Ho indiquem així:

an 0 o lim an = 0

La successió an té de límit el nombre real L quan les diferències entre els termes i el límit formen una successió nul·la:

lim (an - L) = 0

Ho indiquem així: an L o lim an = L

Una successió de nombres reals an té com a límit + ¥, quan per tot nombre real positiu K hi ha un nombre natural n* tal que per a qualsevol n > n*, es verifica que ¥ > K. S'escriu així: lim an = + ¥

Una successió de nombres reals an té per límit - ¥, quan per a tot nombre real positiu K hi ha un nombre natural n* tal que per a qualsevol n > n*, es verifica que an < K.
S'escriu així: lim an = -¥

Dues funcions f(x) i g(x) són equivalents en un punt x=u si el límit del seu quocient en aquest punt és 1.

Si en una expressió figura com a factor o divisor una funció, el límit de l'expressió no varia si substituïm aquesta funció per una altra d'equivalent.

Una funció és contínua en un punt si hi ha límit en aquest punt i coincideix amb el valor que pren la funció en aquest punt.

f contínua a x = a lim x->a f(x) = f(a)

La continuïtat de f a x = a implica que es compleixin aquestes tres condicions:

  • Existeix el límit de la funció f(x) a x = a.

  • La funció està definida a x = a, és a dir, existeix f(a).

  • Els dos valors anteriors conincideixen.

Si una funció no és contínua en un punt x = a diem que és dicontínua en aquest punt.

Derivades

La derivada de la funció f al punt d'abscissa x = a és el límit, si existeix, donat per:

Si el límit existeix, es diu que la funció f és derivable al punt a.

  • La taxa de variació instantània és la derivada.

  • La derivada d'una funció en un punt és un nombre real.

  • La derivada en un punt pot ser negativa, nul·la o positiva.

Les derivades per l'esquerra i per la dreta s'anomenen derivades laterals.
La derivada per l'esquerra es designa per f´(a-), i la derivada per la dreta per f´(a+).

La recta tangent a una corba al punt P és la posició límit t, si existeix, de les rectes secants determinades per P i P¡ quan P¡ s'acosta a P.

El pendent de la tangent a la corba en un punt és igual a la derivada de la funció en aquest punt.

mt = f´(a)

L'equació (punt - pendent) de la recta tangent al punt P(a,f(a)) és:

y - f(a) = f´(a) · ( x - a )

Monotonia i curvatura

Si els valors que pren la funció f(x) són cada vegada més grans a mesura que augmenten els valors de la variable x. Diem que és una funció creixent.

Si els valors que pren la funció f(x) són cada vegada més petits a mesura que augmenten els valors de la variable x. Diem que és una funció decreixent.

Si els valors que pren la funció f(x) són sempre iguals que augmentin els valors de la variable x. Diem que és una funció constant.

Si la derivada segona d'una funció f(x) és:

  • igual a 0, la funció f(x) és lineal sense curvatura.

  • més gran que 0, la curvatura de la funció f(x) és convexa.

  • més petit que 0, la curvatura de la funció f(x) és còncava.

Una funció té un punt d'inflexió a P(a, f(a)) si la funció canvia de curvatura en aquest punt. La derivada segona s'anul·la en els possibles punts d'inflexió d'una funció.

Integrals indefinides

Siguin f i F dues funcions reals definides en un mateix domini. La funció F és una funció primitiva de f, o simplement una primitiva de f:

  • si F té com a derivada f.

F és primitiva de f F' = f

  • si F té com a diferencial f dx.

F és primitiva de f dF(x) = f(x) dx

Àrea sota una corba. Integral definida

El teorema de Barrow explica que si f(x) és una funció contínua i positiva a [a, b] i F(x) és una primitiva de f(x) en aquest interval, llavors l'àrea del recinte ve donada per:

àrea (R) = F(b) - F(a)

L'àrea del recinte en un interval [a, b] és igual a la taxa de variació d'una primitiva en aquest interval.

Basat en els llibres: Matemàtiques - Batxillerat 1 Ed. Cruïlla